Folgen
In Texten zumeist philosophischer Natur habe ich - selbst unter Logikern - schon sinngemäß folgende Redeweise zu Gesicht bekommen: “Ich neige zu der Ansicht/vermute, das B aus A folgt”. Ist so eine Aussage jemals sinnvoll? Kann man eine logische Folgerung vermuten?
Tags: (ver)gelten, überlegen
Thursday, 27. December 2007 12:07
Kann man doch so lange, bis der Beweis oder Gegenbeweis gefunden ist? Als Arbeitshypothese erscheint mir die Aussage nicht sinnfrei.
Saturday, 5. January 2008 19:56
Zunächst: Was bedeutet die alltägliche Redeweise “B folgt aus A”?
Ist damit ganau die Interpretation anhand der Wahrheitstabelle für die aussagenlogische Folgerung (Implikation) A -> B gemeint, wonach dies immer dann zutrifft, wenn nicht gleichzeitig A stimmt, B aber nicht?
Wohl eher nicht, denn sonst würden wir auch sagen:
aus “Meine Freundin liebt mich.” (wahr oder falsch) folgt: “Die Erde ist rund.” (wahr), oder
aus “Philosophie mach Spaß.” (wahr) folgt “Berlin liegt in Deutschland.” (wahr), oder
aus “2 + 2 = 5.” (falsch) folgt “Kartoffeln mit Schokolade schmecken gut.” (wahr oder falsch).
Alle drei Beispiele sind aussagenlogisch betrachtet vollkommen korrekt … nur: so reden wir im Alltag nicht, A und B haben normalerweise “irgendwie” miteinander zu tun. Wo ist die Verbindung? Hat umgangssprachliches Folgern überhaupt nichts mit aussagenlogischem Folgern zu tun?
Zum Glück schon. Die Mehrzahl der alltäglichen Fälle, die mir einfallen, beruht auf dieser Art des Folgerns: Wenn P auf etwas zutrifft, dann trifft auch Q auf dieses etwas zu, mathematisch:
Ax: P(x) -> Q(x)
für alle x gilt: “P trifft zu auf x” impliziert “Q trifft zu auf x”.
Alltäglichem Folgern liegt also eine spezielle Anwendung aussagenlogischen Folgerns zu Grunde, nämlich eingebettet in eine generalisierte Aussage!
Beispiele:
“Wenn etwas ein Baum ist, folgt daraus, dass es eine Pflanze ist.”, kurz: “Alle Bäume sind Pflanzen.”,
“x ist ein Baum”, kurz: Baum(x), ist unser P(x), “x ist eine Pflanze”, kurz: Pflanze(x), ist unser Q(x):
Ax: Baum(x) -> Pflanze(x)
“Frauen sind nicht gut für dich.”:
Ax: Frau(x) -> NichtGutFürDich(x)
“Wenn es schneit, ist es kalt”. Das Zauberwort ist “wenn”, wir generalisieren über den Zeitpunkt t:
At: Schneit(t) -> Kalt(t)
Neben “Ax:” und “->” betreten im Folgenden auch noch Existenzquantor “Ex:” (es exisitiert ein x derart, dass …), “^” (aussagenlogisches UND), “!” (aussagenlogisches NICHT) und “<->” (aussagenlogische Äquivalenz) die Bühne.
Natürlich sind auch spezialisierte Folgerungen, die sich leicht aus einer - nicht immer ausgesprochenen - Generalisierung ergeben, möglich:
“Peter raucht. Daraus folgt, dass er früher stirbt.”:
( Ax: Raucht(x) -> StirbtFrüher(x) )
-> ( Raucht(Peter) -> StirbtFrüher(Peter) )
Genauer eigentlich, wenn man will:
( Ax: Raucht(x) -> StirbtFrüher(x) )
^ ( Ex: Peter(x) ^ Raucht(x) )
-> ( Ex: Peter(x) ^ StirbtFrüher(x) )
Damit zur Frage:
Zu “vermuten, dass B aus A folgt” bedeutet also zu vermuten, dass für alle x, auf die P zutrifft auch Q zutrifft (P und Q passend gewählt).
Oder, weil
(Ax: P(x) -> Q(x))
<-> ( ! Ex: P(x) ^ ! Q(x))
zu vermuten, dass es nicht gelingen wird, ein x zu finden, auf das P zutrifft, Q aber nicht. Ist der Untersuchungsbereich (die Anzahl der x) hinreichend groß und hat man bei der Untersuchung vieler Fälle (aber eben noch nicht aller), in denen P zutrifft, noch keinen Fall entdeckt, bei dem Q *nicht* zutrifft, kann man durchaus optimistischerweise vermuten, dass es in jedem Fall so ist. So ist es wohl gemeint, wenn man sagt: “Ich vermute, dass B aus A folgt”. Erst nach der Untersuchung einer hinreichend großen Zahl von Fällen sollte man aber “B folgt aus A” zur Arbeitshypothese machen.
Wenn ich mir viele Bäume in der Natur angeschaut habe, kann ich also legitimerweise vermuten, dass Ax: Baum(x) -> Pflanze(x) (”aus der Baum-Eigenschaft eines Dings folgt die Pflanzen-Eigenschaft des Dings”) gilt … zumindest bis ich zum ersten Mal von Binärbäumen in der Graphentheorie gehört habe.
Beste Grüße.
Wednesday, 9. January 2008 10:30
Logische Folgerungen ergeben sich aus Begriffszusammenhängen.
Begriffszusammenhänge sind anerkannte logische Folgerungen.
Die Vermutung besteht darin, dass es sich bei der Folgerung um eine vernünftige Setzung eines Begriffszusammenhangs durch die Setzung der logischen Folgerung im Gesamtsystem des menschlichen Reden und Handeln handeln könnte.